AfterSchool

f’(x) = f(x)*( 2(x+1)^(-1) -3((x+2)^(-1) -4(x+3)^(-1) )

おそらく前の方の回答は
$f'(x)= f(x) \left( \frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x+3} \right)$
のことだと思いますが、これは、問題の対数をとって
$\log {f(x)} =2\log{(x+1)}-3\log{(x+2)}-4\log{(x+3)}$として、両辺を微分することで得られます。

\begin{align*}
f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)^{3}(x+3)^{4}}
\end{align*}
両辺の絶対値をとって自然対数をとると
\begin{align*}
\log|{f(x)}|&=\log\left|{\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)^{3}(x+3)^{4}}}\right|\\
&=2\log{|x+1|}-3\log{|x+2|}-4\log{|x+3|}
\end{align*}
両辺を$x$で微分すると
\begin{align*}
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x+3}
\end{align*}
ゆえに
\begin{align*}
f'(x)=\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)^{3}(x+3)^{4}}\left(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x+3}\right)
\end{align*}

絶対値をとるというアイデアが浮かばなかった場合でも、今回の問題であれば
$f(x)=(x+1)^2(x+2)^{-3}(x+3)^{-4}$
というようにみて、合成関数の微分をしていけば解くことはできると思います。

$f'(x)=2(x+1)(x+2)^{-3}(x+3)^{-4}-3(x+1)^2(x+2)^{-4}(x+3)^{-4}-4(x+1)^2(x+2)^{-3}(x+3)^{-5}$

この式を整理すると、上の回答と同じ答えが出てきます。