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管理者

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管理者からの問題①

2019/05/13 (Mon) 22:05:02

せっかく掲示板を開設したので、一つ問題を解いて楽しみましょう。

＊＊＊＊

地面に地球の裏まで貫通する真っすぐな穴をあけて、そこに小さな質量$m$の球を落とす。さて、この球はどんな運動をするか？
具体的な式で解答できるならなおよい。
ここで、落とす球は質点、地球は半径$R$、質量$M$の一様な球体とみなせるとし、地球の中心から径方向への距離を$r$とする。

要求される知識：古典力学の基礎

虚脱くん

Re: 管理者からの問題①

2019/05/13 (Mon) 23:57:04

地球の中心を原点oとすると、物体に働く力はoからのズレのマイナス係数一次関数となるので、oを振動中心とする単振動をする。

うみくろ

Re: 管理者からの問題①

2019/05/14 (Tue) 10:26:10

地球の中心を原点Oとする。
小球のOからの距離がrのとき、地球は質量M(r/R)^3が中心に集まった質点と見なせる。
このとき、小球の運動方程式は
m(d^2r/dt^2)=－(GMm/R^3)rである。
よって、小球の運動はOを振動中心とし、振幅Rの単振動となる。振動の周期は√GM/R^3である。

うみくろ

Re: 管理者からの問題①

2019/05/14 (Tue) 20:32:02

訂正です。
周期は2π√R^3/GMです。

睡魔氏

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Re: 管理者からの問題①

2020/08/22 (Sat) 03:47:23

ひとつヒントをもらってもいいでしょうか
開けた穴は極方向ですか？
それならばoを中心とした振動をしますがやがて中心oで静止します
極方向でなければ角運動量保存則により東側の壁に激突し即座に減速してほぼ振動せずに中心で静止します

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